読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

AOJ2679 Decoding Ancient Messages

問題

Decoding Ancient Messages | Aizu Online Judge

N * N のグリッドの各マスに文字が書かれている。ここから N 文字抽出する。抽出する文字は同一行または同一列に存在してはいけない。任意の順番で抽出して並べたとき、作ることのできる辞書順最小の文字列を求めよ。ただし文字はアルファベットの大文字または小文字であり、'A' \lt 'B' \lt ... \lt 'Z' \lt 'a' \lt 'b' \lt ... \lt 'z' の順になっている。

N \le 50

解法

(行, 列)のペアにそのマスの文字が対応している。行と列は重複して選べないので、それぞれの行に対して列を割り当てる問題と考えれば、抽出するN文字が決まる。辞書順に小さくなるように文字を並べたいので、マスの文字をコストにしたい。多倍長整数の52進数にするか順序付き配列として文字のコストを決めれば、流れたフローの最小費用から抽出した文字を取り出せる。任意の順序で並べられるので、最小費用から取り出した文字を辞書順で小さいものから並べれば良い。

struct polynomial : public array<int, 52> {
  polynomial() { this->fill(0); }
};
 
polynomial operator + (polynomial const& l, polynomial const& r) {
  polynomial ret;
  rep(i, l.size()) ret[i] = l[i] + r[i];
  return ret;
}
 
polynomial& operator += (polynomial& l, polynomial const& r) {
  rep(i, l.size()) l[i] += r[i];
  return l;
}
 
polynomial& operator -= (polynomial& l, polynomial const& r) {
  rep(i, l.size()) l[i] -= r[i];
  return l;
}
 
polynomial operator - (polynomial const& l, polynomial const& r) {
  polynomial ret;
  rep(i, ret.size()) ret[i] = l[i] - r[i];
  return ret;
}
 
polynomial operator * (int k, polynomial const& x) {
  auto ret = x;
  rep(i, ret.size()) ret[i] *= k;
  return ret;
}
 
polynomial operator - (polynomial const& x) {
  auto ret = x;
  rep(i, ret.size()) ret[i] *= -1;
  return ret;
}
 
ostream& operator << (ostream& ost, polynomial const& xs) {
  ost << "[";
  rep(i, xs.size()) ost << xs[i] << ", ";
  return ost << "]";
}
 
namespace flow {
 
template<typename Flow, typename Cost>
struct edge_ {
  int to; Flow cap; Cost cost; int rev;
  edge_(int t, Flow ca, Cost co, int r) : to{t}, cap{ca}, cost{co}, rev{r} {}
};
 
typedef edge_<int, polynomial> edge;
 
template<typename Flow, typename Cost>
struct primal_dual {
 
  vector<vector<edge>> G;
  vector<Cost> h, dist;
  vector<int> prevv, preve;
 
  Cost zero_cost = polynomial();
  Cost infinity_cost;
  Cost none_cost;
 
  bool cannot_reach_sink(int sink) {
    return dist[sink] == infinity_cost;
  }
 
  primal_dual(int V) : G(V), h(V), dist(V), prevv(V), preve(V) {
    rep(i, infinity_cost.size()) {
      infinity_cost[i] = none_cost[i] = inf;
    }
  }
 
  void add_edge(int from, int to, Flow cap, Cost cost) {
    G[from].emplace_back(to, cap, cost, G[to].size());
    G[to].emplace_back(from, 0, -cost, G[from].size()-1);
  }
 
  Cost min_cost_flow(int s, int t, Flow f) {
    Cost ret = zero_cost;
    fill(h.begin(), h.end(), zero_cost);
    while(f > 0) {
      typedef pair<Cost, int> P;
      priority_queue<P, vector<P>, greater<P>> pq;
      fill(dist.begin(), dist.end(), infinity_cost);
      dist[s] = zero_cost;
      pq.emplace(zero_cost, s);
      while(!pq.empty()) {
        P p = pq.top(); pq.pop();
        int v = p.second;
        if(dist[v] < p.first) continue;
        for(int i=0; i<G[v].size(); i++) {
          auto& e = G[v][i];
          if(e.cap > 0 && dist[e.to] > dist[v] + e.cost + h[v] - h[e.to]) {
            dist[e.to] = dist[v] + e.cost + h[v] - h[e.to];
            prevv[e.to] = v;
            preve[e.to] = i;
            pq.emplace(dist[e.to], e.to);
          }
        }
      }
 
      if(cannot_reach_sink(t)) return none_cost;
      for(int i=0; i<h.size(); i++)
        h[i] += dist[i];
 
      Flow d = f;
      for(int i=t; i!=s; i=prevv[i])
        d = min(d, G[prevv[i]][preve[i]].cap);
 
      f -= d;
      ret += d * h[t];
      for(int i=t; i!=s; i=prevv[i]) {
        auto& e = G[prevv[i]][preve[i]];
        e.cap -= d;
        G[i][e.rev].cap += d;
      }
    }
    return ret;
  }
 
};
 
}
 
typedef flow::primal_dual<int, polynomial> PrimalDual;
 
int main() {
 
  int N; cin >> N;
  vector<string> G(N);
  rep(i, N) cin >> G[i];
 
  string coef; rep(k, 2) rep(i, 26) coef += char("Aa"[k] + i);
 
  PrimalDual pd(N * 2 + 2);
  rep(i, N) rep(j, N) {
    polynomial cost;
    cost[coef.find(G[i][j])]++;
    pd.add_edge(i, N+j, 1, -cost);
  }
 
  const int SRC = N * 2, SINK = N * 2 + 1;
  rep(i, N) {
    pd.add_edge(SRC, i, 1, polynomial());
    pd.add_edge(N+i, SINK, 1, polynomial());
  }
 
  auto r = -pd.min_cost_flow(SRC, SINK, N);
 
  rep(i, coef.size()) {
    rep(k, r[i]) cout << coef[i];
  }
 
  cout << endl;
 
  return 0;
}